Find non-singular matrices P & Q such that PAQ is in normal form & hence find rank of the matrix A and obtain \(A^{-1}\). \(A=\begin{bmatrix}1&2&-2\\-1&3&0\\0&-2&1\end{bmatrix}\)

Write \(A=I_3\,A\,I_3\).

\(R_2\to R_2+R_1\): \(\begin{bmatrix}1&2&-2\\0&5&-2\\0&-2&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A\,I_3\)

\(C_2\to C_2-2C_1,\ C_3\to C_3+2C_1\): \(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&5&-2\\0&-2&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}1&-2&2\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)

\(R_2\to R_2+2R_3\): \(\begin{bmatrix}1&0&0\\0&1&0\\0&-2&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&2\\0&0&1\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}1&-2&2\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)

\(R_3\to R_3+2R_2\): \(I_3=\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&2\\2&2&5\end{bmatrix}A\begin{bmatrix}1&-2&2\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\)

\(P=\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&2\\2&2&5\end{bmatrix},\ Q=\begin{bmatrix}1&-2&2\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\), \(PAQ=I_3\); normal form \(I_3\) ⇒ rank of A = 3.

Inverse: \(PAQ=I\Rightarrow A=P^{-1}Q^{-1}\Rightarrow A^{-1}=QP\).

\(A^{-1}=\begin{bmatrix}1&-2&2\\0&1&0\\0&0&1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&0&0\\1&1&2\\2&2&5\end{bmatrix}=\) \(\begin{bmatrix}3&2&6\\1&1&2\\2&2&5\end{bmatrix}\)

Check: \(|A|=1(3)-2(-1)-2(2)=1\) and \(A\cdot A^{-1}=I\) (row 1 of A times columns: \(3+2-4=1,\ 2+2-4=0,\ 6+4-10=0\)).